Phần 3: Giới hạn, đạo hàm, tích phân, giải phương trình, hệ phương trình

I. Giới hạn, đạo hàm, tích phân.

a) Giới hạn của hàm số:
Cho hàm số f(x) tìm giới hạn của hàm:
Cú pháp: [> limit( <<,option>>); trong đó option có thể nhận hai giá trị là right hoặc left.
Chú ý ngoài lệnh trên thì còn lệnh Limit là lệnh trơ.
Ví dụ tính giới hạn của các hàm số sau:

1)	2)
3)	4)

[>Limit((sin(2*x)^2-sin(x)*sin(4*x))/x^4,x=0)=limit((sin(2*x)^2-sin(x)*

sin(4*x))/x^4,x=0);

[> Limit((2*x+3)/(7*x+5),x=infinity)=limit((2*x+3)/(7*x+5),x=infinity);

[> Limit(abs(x-4)/(x-4),x=4,right)=limit(abs(x-4)/(x-4),x=4,right);

[> Limit(abs(x-4)/(x-4),x=4,left)=limit(abs(x-4)/(x-4),x=4,left);

b) Đạo hàm của hàm số:
* Đạo hàm của hàm một biến:
Cú pháp:
- Đạo hàm bậc nhất: [> diff ( Biểu_thức (x), x );
- Đạo hàm bận n : [> diff ( Biểu thức(x), x$n);
hoặc [> diff ( Biểu thức(x), x, x, x..);
Chú ý ngoài lệnh trên thì còn lệnh Diff là lệnh trơ.
* Đạo hàm của hàm số nhiều biến:
- Đạo hàm bậc nhất: [> diff ( Biểu_thức (x,y,..), x );
- Đạo hàm bậc 2: [> diff ( Biểu thức(x,y), x,y);
.......................................................................
* Đạo hàm của hàm ẩn:
Ta có hàm f(x,y) = 0 thì y(x) là hàm ẩn cho nên ta tính đạo hàm của y(x) có cú pháp như sau:
- Đạo hàm bậc 1:: [> implicitdiff ( f(x,y), y, x);
- Đạo hàm bậc n:: [> implicitdiff ( f(x,y), y,x$n);
Ví dụ:
[> diff(x*sin(cos(x)),x);

[> Diff(tan(x),x) = diff(tan(x),x);

[> f := y = x^2/z;

[> implicitdiff(f,y,x);

[> implicitdiff(f,y,z);

[> f := x^2+y^3=1;

[> implicitdiff(f,y,x);

c) Phép tính tích phân:
1/ Tích phân bất định: :
Cú pháp: [> int (Biểu_thức(x), Biến x);

[> int( x/(x^3-1), x );

[> int( exp(-x^2), x );

Các phép biến đổi tích phân:(nằm trong Pacgket Student dùng lệnh [> with(student);)
* Phương pháp đổi biến: [> changevar( equation, integ <<, var>>);
Trong đó: equation: là liên hệ giữa biến củ và biến mới( h(x) = g(x) ).
integ: là tích phân ban đầu chưa đổi biến.
var: là biến tích phân mới.
Ví dụ:

[> with(student):
changevar(cos(x)+1=u, Int((cos(x)+1)^3*sin(x), x), u);

[> changevar(x=sin(u), Int(sqrt(1-x^2), x=a...b), u);

* Phương pháp tích phân từng phần:

Cú pháp:[> intparts ( integ, expr); trong đó expr chính là biểu thức của u.
Ví dụ:
[> with(student):
intparts(Int(x^k*ln(x), x), ln(x));

2/ Tính phân xác định:
Cú pháp: [> int (Biểu_thức(x), Biến x= a..b);

3/ Tính phân bằng số:

Cú pháp: [> evalf (integ <<, digits>>);

II. Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình:

a) Giải phương trình:
Cú pháp: [> solve ( equation, var);

Trong đó : equation: là phương trình cần giải f(x) = g(x)..
var : là biến của phương trình.
Ví dụ:

[> solve( (a^2*c^2 - 4*b^2)/b = a^6*b - 4*a^3*b, [c] );

[> solve(x^3+3*x^2-3*x-1=0,x);

b) Giải bất phương trình:
Cú pháp: [> solve (inequation, var);

Trong đó : inequation: là bất phương trình cần giải f(x) < g(x)..(<, >, <=, >= )
var : là biến của bất phương trình.
Ví dụ:

[> solve(x+1/x > 0, x);

RealRange (Open(0), oo)

[> solve((x-1)*(x-2)*(x-3) < 0, x);

RealRange (-oo, Open(1)),RealRange (Open(2),Open(3))

c)Giải hệ phương trình:
Cú pháp: [> solve ( {equations}, {vars});

Trong đó : equations: là hệ phương trình cần giải f(x,y) = g(x,y), k(x,y) = l(x,y) ....
vars : là các biến của hệ phương trình.
Ví dụ:
[> solve({x+2*y=3, y+1/x=1}, [x,y]);